复变函数ppt',复变函数知识点总结

复变函数中f(z)可微吗?

复变函数f（z）在区域d内可微（可导）的充要条件是f（z）在区域d内解析 复变函数f（z）在点a处解析，不仅要求在该点处的导数存在，而且存在a的一个领域，该领域内所有的点处，f（z）都可导。

如果函数f（z）在z0以及z0的邻域内处处可导，那末称f（z）在z0解析。如果f（z）在区域D内每一点解析，那末称f（z）在D内解析。以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

也有的偏导数存在但不可微；复变函数可导与可微也是等价的，但复变函数可微的要求更高，不但要求f（z）=u（x，y）+iv（x，y）中两个实函数u，v满足二元函数可微的相关条件，还要满足柯西黎曼方程ux=vy，uy=-v‘x。

如何理解复变函数的求导公式?

1、复变函数的导数是指：函数在复数域中某一点的切线斜率。

2、∴Ln（2）=ln2+i2kπ。Ln（-1）=ln1+iπ+i2kπ=（2k+1）πi。∵1+i=（√2）（1/√2+i/√2）=（√2）e^（πi/4）。∴ln（1+i）=（1/2）ln2+πi/4。ln1=n2πi。

3、复数函数求导公式：f’（z）=Ux（x，y）+iVx（x，y）。复函数导数的定义和实函数导数的定义是一样的。一般来说，复变函数的导数，没有实际的几何意义。

4、在专门的复变函数课本上，有推广的欧拉公式：EXP（iZ）＝cosZ＋isinZ ，这里Z是复平面上任意一点。函数EXP（iZ）是解析函数，可以对变量Z求导数（就像实变函数一样求导）。

复变函数

复变函数是指定义在复平面上的函数，也就是将复数作为自变量和函数值的函数。复变函数是一个复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数。复变函数在数学中有着广泛的应用，涉及到复数解析几何、调和分析、微分方程等领域。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

Cauchy-Riemann方程：复变函数满足Cauchy-Riemann方程时，它才能够在该点处可导。

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又，Res[f（z），z1]=lim（z→z1）[（z-z1）f（z）]=lim（z→-1）2（z-1）/[2（z-1）]=1。同理，Res[f（z），z2]=1。∴原式=（2πi）（1+1）=4πi。

而，{，z，1}∩{，z/2，1}={，z，1}。∴f（z）=∑[1-1/2^（n+1）]z^n，其中，z，1，n=0，1，2，……，∞。供参考。

∴原式=e^[-（2kπ+5π/4）]（cosθ+isinθ），其中θ=ln（√2），k=0，±1，±2，……。供参考。

几何级数，公比q=1/（1+i）^2，|q|=1/21，所以绝对收敛，进而收敛。（3）n=4k+2（k是整数）时，分母为0；另外，通项不收敛（进而不收敛于0），所以级数发散。

由定义，2z，1时，∑（2z）^（n-1）收敛、，z，1时，∑z^（n-1）收敛。∴其收敛域为{z，2z，1}∩{z，z，1}={z，z，1/2}。∴收敛半径R=，z，=1/2。

复变函数里的三角函数怎么转化?

1、利用欧拉公式，我们可以将复变函数的解方程转化为三角函数的求解问题。

2、即：exp（iθ）=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到，是复变函数的基本公式。三角函数课程介绍：三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

3、x=1-x^2/2！+x^4/4！-x^6/6！……将sin x按泰勒展开得sin x=x-x^3/3！+x^5/5！-x^7/7！……则任意复数re^iθ=r（cosθ+isinθ）其中r为模的大小，θ为复角。

4、复变函数cosx=（e^ix+e^-ix），其中e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。推导过程：因为cosx+isinx=e^ix。

5、exp（）为自然对数的底e的指数函数。即：exp（iθ）＝cosθ＋isinθ。证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到，是复变函数的基本公式。复数有多种表示形式：代数形式、三角形式和指数形式等。

6、exp（）为自然对数的底e的指数函数。即：exp（iθ）=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到，是复变函数的基本公式。

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